像这种情况的话，如果说孩子4岁，从小都是由你的父母照顾抚养，你父母那边照顾的多的话，一般孩子会判给你的。但是也有其他的情况，比如说孩子跟随女方如果更利于孩子后期成长的话，判给女方还是有可能的。另外针对于赔偿的问题，如果你可能提供证据证明女方存在重大过错，那么起诉的时候可以要求女方进行赔偿的。

孩子交由谁来抚养，主要是看以后怎么样有利于孩子的身心健康，以及孩子一直以来是由谁来照顾的。一般情况来讲，女孩子归女方来抚养的情况多一点。如果说是男方的条件比女方要好，可以给孩子提供更好的抚养条件的话，那么孩子判给男方的可能性大。像您说的这个情况，赔偿一般不太可能，因为离婚的婚姻赔偿有两种情况：一种是使用家庭暴力的，这种清理有婚内的赔偿；还有一种是女方有出轨的情况，那么离婚的时候可以少分财产。

根据您的描述，现在孩子4岁的话，一般起诉法院判决会判给有利于子女成长的一方抚养，因为你的孩子一直以来都是跟着你的父母，因此判给你的可能性大一些。如果是进行主张赔偿的话，你需要提供相应的证据来举证。一般来说离婚案件，在第一次起诉的时候是不会判决离婚的，需要起诉两次；也就是第一次判决书下来之后，再过个半年再起诉一次，通常情况下都是这样来处理的。